El truco para entender el mínimo común múltiplo

En conceptos simples, el mínimo común múltiplo de dos o más números, es aquel que es el múltiplo más pequeño que esos números que tienen en común.

El mínimo común múltiplo se suele expresar con las siglas m.c.m. (a, b), siendo a y b los números.

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Más simple aún, el mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números. A continuación veamos los conceptos por separado para poder comprender un poco de lo que se trata.

¿Qué son los múltiplos?

Cuando hablamos de múltiplos decimos que estos son de un número que obtienes cuando lo multiplicas por otros números.

Vamos a ver un ejemplo de los múltiplos de 2 y de 3. Para calcular sus múltiplos hay que ir multiplicando el 2 y el 3 por 1, por 2, por 3.

2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8

y así sucesivamente hasta infinitos números.

3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12

y así sucesivamente hasta infinitos números.

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo, tal como hemos dejado en claro, es el número más pequeño de los múltiplos comunes.

Por ejemplo, si los múltiplos comunes de 2 y de 3 eran 6, 12 y 18, el mínimo común múltiplo o mcm es 6, ya que es el menor de los múltiplos comunes.

¿Cómo puedo sacar el mínimo común múltiplo?

Antes de enseñarte cómo puedes sacar el mínimo común múltiplo, debes recordar la descomposición en factores de los números. Recuerda que los números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, y así sucesivamente.

Ahora para estas operaciones, ten en cuenta que entre las operaciones:

Divisibles entre 2 son todos los pares (los que acaban en 0, 2, 4, 6 y 8, es decir, todos los números pares)
Divisibles entre 3 son aquellos que la suma de sus cifras es divisible entre 3. Por ejemplo: 78 es divisible entre 3 porque 7+8=15.
Divisibles entre 5 son los que acaban en 0 o en 5.

Para realizar la descomposición en factores lo primero que debes tener en cuneta es que solo se puede descomponer en números primos.

Ejemplo:

45| 5 45= 5 * 3²
9 | 3
3 | 3
1 |

Este ejemplo nos dice que dividimos 45 entre 5, siguiendo las normas de los números divisibles entre 5. El resultado se pone en el lado izquierdo de la tabla y volvemos a buscar un número que sea divisible, en este caso el 3.

Debes continuar descomponiendo hasta que no se pueda dividir más. Después, en el lado derecho de la tabla nos fijamos en los números y en las veces que se repiten. Por eso en este caso el 3 está elevado al cuadrado (se repite dos veces).

Ejemplo:

12| 2 12= 3 * 2²
6 | 2
3 | 3
1 |

Es importante saber que en la multiplicación el orden de los factores no altera el producto por lo que podemos poner tanto 3 * 2² como 2² * 3.

Operaciones

Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números, es necesario comenzar a descomponer los números en factores primos.

Calculamos el mínimo común múltiplo de 180 y 324. Es decir, mínimo común múltiplo (180,324)

El mínimo común múltiplo se obtiene al tomar todos los factores (comunes y no comunes), elevados a la máxima potencia. Esto quiere decir que se debe tomar todos los factores, pero los que se repitan los debes tomar elevados a la máxima potencia.

mínimo común múltiplo (180,324)= 2²x5x3⁴

El 2 aparece como factor primo en ambas descomposiciones, en ambos casos está elevado a 2.

Mientras que el 5 sólo aparece en la descomposición de 180, pero tenemos que seleccionar todos.

El 3 aparece como factor en ambas descomposiciones, pero debemos seleccionar el denominador más elevado.

Procedemos a realizar la multiplicación y obtenemos el mínimo común múltiplo.

mínimo común múltiplo (180,324)= 2²x5x3⁴= 1620

¿Y si hablamos del común divisor?

El máximo común divisor de dos o más números es el número más grande por el que se pueden dividir dichos números.

El máximo común divisor se suele expresar con las siglas M.C.D. (a,b), siendo a y b los números.

Calculamos el máximo común divisor de 180 y 324. Siendo mínimo común divisor (180,324).

Para calcular el máximo común divisor de dos o más números, empezamos por descomponer esos números en factores primos.

El máximo común divisor se obtiene al tomar solo los factores primos comunes a los números que hemos descompuesto, elevados al menor exponente. Es decir que se debe seleccionar solo los factores comunes y los que se repitan los cogemos elevados a la mínima potencia.

mínimo común divisor (180,324)= 2²x3²

Hacemos la multiplicación y obtenemos el máximo común divisor

M.C.D. (180,324)= 2²x3²= 36

Cualquier información extra o duda, puedes consultar algunos portales dedicados a las operaciones matemáticas.